1. Головна
    2. Геометрія
    3. Як знайти площу трикутника-

Як знайти площу трикутника-

Найпоширеніший спосіб обчислити площу трикутника - це розділити навпіл результат перемноження висоти і підстави. Але існують і інші формули для обчислення площі трикутника, які застосовуються в залежності від даних значень. Також можна знайти площу трикутника по відомих сторонах і кутах трикутника (тобто без використання висоти).

Метод1З 4:
По підставі і висоті

  1. Знайдіть основу і висоту трикутника.підстава-це одна зі сторін трикутника. Висота - це перпендикуляр, проведений до основи з протилежної вершини трикутника. Значення основи і висоти будуть дані в задачі або потрібно виміряти їх.
    • Наприклад, дано трикутник з основою 5 см і висотою 3 см.
  2. Запишіть формулу для обчислення площі трикутника. Формула: S=12(bh){\displaystyle {\text{S}}={\frac {1}{2}}(bh)}, де — підстава, — висота.[1] зверніть увагу: тут і далі на малюнках площа позначена як A{\displaystyle A}, але в формулах використовується .
  3. Підставте значення підстави і висоти в формулу. перемножте ці значення, а потім розділіть їх на 2 (або помножте на 12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}). Ви отримаєте площу трикутника (в квадратних одиницях виміру).
    • Наприклад, якщо основа трикутника дорівнює 5 см, а висота дорівнює 3 см, то обчислення виглядають так:
      S=12(bh){\displaystyle {\text{S}}={\frac {1}{2}}(bh)}



      Таким чином, площа трикутника з основою 5 см і висотою 3 см дорівнює 7,5 квадратних сантиметрів.
  4. Знайдіть площу прямокутного трикутника.Так як дві сторони (катети) прямокутного трикутника перпендикулярні, один з катетів є висотою, а другий — підставою. Таким чином, якщо значення підстави і висоти в задачі не дані, можна визначити їх по довжинах сторін трикутника. Площа трикутника обчислюється за формулою: S=12(bh){\displaystyle {\text{S}}={\frac {1}{2}}(bh)}
    • Також можна користуватися цією формулою, якщо відомий тільки один катет і гіпотенуза. Гіпотенуза-це сторона прямокутного трикутника, протилежна прямому куту. Пам'ятайте, що невідому сторону прямокутного трикутника можна знайти Потеоремі Піфагора: A2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}.
    • Наприклад, якщо позначити гіпотенузу як "с«, то катети позначаються як» a «і»b". Якщо гіпотенуза дорівнює 5 см, а підстава (один з катетів) дорівнює 4 см, за теоремою Піфагора можна знайти висоту (інший катет):
      A2+b2=c2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}





      Тепер у формулу для обчислення площі замість b і h підставте значення двох катетів (a і b):



Метод2З 4:
По сторонах

  1. Обчисліть напівпериметр трикутника.напівпериметр фігури дорівнює половині її периметра. Щоб знайти напівпериметр, спочатку потрібно обчислити периметр трикутника, тобто скласти значення трьох сторін, а потім периметр розділити на 2 (або помножити на 12{\displaystyle {\frac {1}{2}}}).[2] зверніть увагу: тут і далі на малюнках напівпериметр позначений як S{\displaystyle s}, але в формулах використовується .
    • Наприклад, дано трикутник, сторони якого рівні 5 см, 4 см і 3 см. Напівпериметр обчислюється так:
      P=12(3+4+5){\displaystyle p={\frac {1}{2}}(3+4+5)}
  2. Запишіть формулу Герона. Формула: S=p(p−a)(p−b)(p−c){\displaystyle {\text{S}}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}, де — півпериметр, , , — сторони трикутника.[3]
  3. Підставте значення напівпериметра і сторін в формулу. напівпериметр підставляється замість P{\displaystyle p}.
    • У нашому прикладі:
      S=p(p−a)(p−b)(p−c){\displaystyle {\text{S}}={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}
  4. Обчисліть вирази в дужках. відніміть значення кожної сторони з значення напівпериметра. Потім перемножте отримані результати.
    • У нашому прикладі:
      S=6(6−3)(6−4)(6−5){\displaystyle {\text{S}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}}

  5. Перемножте значення, що стоять під знаком кореня.потім з отриманого результату витягніть квадратний корінь. Ви отримаєте площу трикутника (в квадратних одиницях виміру).
    • У нашому прикладі:
      S=6(6){\displaystyle {\text{S}}={\sqrt {6(6)}}}


      Таким чином, площа трикутника дорівнює 6 квадратних сантиметрів.

Метод3З 4:
По одній зі сторін рівностороннього трикутника

  1. Знайдіть довжину однієї сторони трикутника. у рівносторонньому трикутнику всі сторони і всі кути рівні, тому досить знати значення тільки однієї сторони.[4]
    • Наприклад, дано трикутник, всі сторони якого рівні 6 см.
  2. Запишіть формулу для обчислення площі рівностороннього трикутника. Формула: S=(a2)34{\displaystyle {\text{S}}=(a^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}}, де — сторона рівностороннього трикутника.[5]
  3. У формулу підставте значення сторони трикутника. воно підставляється замість A{\displaystyle a}. Потім зведіть значення в квадрат.
    • Наприклад, якщо сторона рівностороннього трикутника дорівнює 6 см, обчислення запишуться так:
      S=(a2)34{\displaystyle {\text{S}}=(a^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}}

  4. Помножте квадрат сторони на3{\displaystyle {\sqrt {3}}}. щоб витягти корінь і отримати точне значення, скористайтеся калькулятором. Якщо калькулятора немає, 3{\displaystyle {\sqrt {3}}} ≈ 1,732.
    • У нашому прикладі:
      S=(36)34{\displaystyle {\text{S}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}}
  5. Результат розділіть на 4.ви отримаєте площу трикутника (в квадратних одиницях виміру).
    • У нашому прикладі:
      S=62,3524{\displaystyle {\text{S}}={\frac {62,352}{4}}}

      Таким чином, площа рівностороннього трикутника, сторони якого дорівнюють 6 см, приблизно дорівнює 15,59 квадратних сантиметрів.

Метод4З 4:
За допомогою тригонометричних функцій

  1. Знайдіть довжини двох суміжних сторін і прилеглий кут.суміжні сторони сходяться в одній вершині трикутника.[6] прилеглий Кут знаходиться між суміжними сторонами.
    • Наприклад, дано трикутник, суміжні сторони якого рівні 150 см і 231 см, а кут між ними дорівнює 123 градуси.
  2. Запишіть формулу для обчислення площі трикутника за допомогою тригонометричних функцій. Формула: S=bc2sin⁡A{\displaystyle {\text{S}}={\frac {bc}{2}}\sin A}, де і — суміжні сторони, — кут між ними.[7]
  3. У формулу підставте значення сторін. вони підставляються замість

Ще почитати: