Як знайти кут між векторами: 12 кроків

Частина1 З 2:

Знаходження кута між двома векторами

1. 
   Запишіть інформацію про два вектори.у цій статті ми будемо розглядати вектори в двовимірному просторі.^[1] якщо довжини векторів вам дані, пропустіть деякі з наступних кроків.

   • Приклад. Дано вектори${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ = (2,2) і ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ = (0,3). Ці вектори також можна записати у вигляді ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ = 2i + 2j ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ = 0i + 3j = 3j.
   • Наш приклад розглядає двовимірні вектори, але описані нижче інструкції можна застосовувати і до багатовимірних векторів.
2. 
   Запишіть формулу.щоб знайти кут θ між двома векторами, почніть з знаходження косинуса цього кута. (Про цю формулу ми розповімо в наступному розділі.) ^[2]

   • Cosθ = (${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ • ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$) / (||${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$|| ||${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ ||)
   • ||${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$|| – це довжина вектора ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$.
   • ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ • ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ – це скалярний добуток двох векторів.
3. 
   Обчисліть скалярний добуток двох векторів. ^[3] для цього перемножте відповідні компоненти двох векторів і складіть отримані значення.^[4]

   • ${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ • ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ = u₁v₁ + u₂v₂, де u = (u₁, u₂). Якщо ваші вектори мають більше двох компонент, просто продовжуйте додавати твори їх компонентів: + u₃v₃ + u₄v₄...
   • Таким чином, у двомірному векторі,||u|| = √(u₁² + u₂²).
   • У нашому прикладі:${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ • ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6.
4. 
   Обчисліть довжину кожного вектора. намалюйте прямокутний трикутник, сторонами якого буде сам вектор (гіпотенуза), його х-компонента і його у-компонента (катети). Тепер знайдіть довжину вектора за допомогою теореми Піфагора (її можна застосовувати до багатокомпонентних векторів).^[5]

   • ||u||² = u₁² + u₂². Якщо ваші вектори мають більше двох компонент, просто продовжуйте додавати: + u₃² + u₄² + ...
   • Таким чином, для двовимірного вектора:/ / u / / = √(u₁² + u₂²).
   • У нашому прикладі: ||${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$|| = √(2² + 2²) = √(8) = 2√2. ||${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$|| = √(0² + 3²) = √(9) = 3.
5. 
   Підставте знайдені значення (довжину векторів і їх скалярний добуток) у формулу cosθ = (U→{\displaystyle {\overrightarrow {u}}} • $$V→{\displaystyle {\overrightarrow {v}}}) / (||$$U→{\displaystyle {\overrightarrow {u}}}|| ||$$V→{\displaystyle {\overrightarrow {v}}} ||).

   • У нашому прикладі: cosθ =6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.
6. 
   Знайдіть кут по його косинусу. ви можете використовувати кнопку Arccos або Cos^-1 на калькуляторі, щоб знайти кут θ за відомим значенням cosθ. У деяких випадках ви можете знайти Кут, користуючись одиничною окружністю.

   • У нашому прикладі, cosθ = √2/2. На одиничному колі це значення відповідає куту 'θ = ^π / ₄ або 45º
   • Поєднуючи все, отримуємо формулу: кут θ = arccosin ((${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$ • ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$) / (||${\displaystyle {\overrightarrow {u}}}$|| ||${\displaystyle {\overrightarrow {v}}}$ ||))

'.