Як вивести формулу кінетичної енергії: 10 кроків

Метод1З 2:

За допомогою інтегралів

1. Запишіть формулу, що зв'язує роботу і енергію. Робота, виконана над тілом, дорівнює зміні його кінетичної енергії.

   • ${\displaystyle \Delta K=W}$
2. Замість роботи підставте в формулу Інтеграл. тобто у формулі замініть роботу на Інтеграл добутку сили і переміщення тіла.

   • ${\displaystyle \Delta K=\int \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }$
3. Замість сили підставте добуток маси і прискорення. тепер замість прискорення підставте зміна швидкості, поділене на зміну часу. Зверніть увагу, що маса є скалярною величиною, тому її можна винести за Інтеграл.

   • ${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K&#amp;=\int m\mathbf {a} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \\&#amp;=m\int {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \end{aligned}}}$
4. Позбавтеся від переміщення і часу. зверніть увагу,що переміщення, поділене на зміну часу, дорівнює швидкості. Тому перепишіть формулу так:

   • ${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K&#amp;=m\int {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {v} \\&#amp;=m\int \mathbf {v} \cdot \mathrm {d} \mathbf {v} \end{aligned}}}$
5. Візьміть Інтеграл зі зміни швидкості. як правило, початкова швидкість ${\displaystyle v_{0}}$ дорівнює 0.

   • ${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K&#amp;={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}\\&#amp;={\frac {1}{2}}mv^{2}\end{aligned}}}$