Як визначати парні і непарні функції: 8 кроків

Функції бувають парними, непарними або загального вигляду (тобто ні парними, ні непарними). Вид функції залежить від наявності або відсутності симетрії. Найкращий спосіб визначити вид функції-це виконати ряд алгебраїчних обчислень. Але вид функції можна з'ясувати і за її графіком. Якщо навчитися визначати вид функцій, можна передбачати поведінку певних поєднань функцій.

Метод1 З 2:

Алгебраїчний спосіб

Запам'ятайте, що таке протилежні значення змінних. в алгебрі протилежне значення змінної записується зі знаком " - " (мінус). Причому це вірно при будь-якому позначенні незалежної змінної (буквою $x$ або будь-який інший літерою). Якщо у вихідній функції перед змінною вже стоїть негативний знак, то її протилежним значенням буде позитивна змінна. Нижче наведено приклади деяких змінних та їх протилежних значень:^{[1]X
Джерело інформації}
- Протилежним значенням для $x$ є $-x$ .
- Протилежним значенням для $q$ є $-q$ .
- Протилежним значенням для $-w$ є $w$ .
Замініть незалежну змінну на її протилежне значення.тобто поміняйте знак незалежної змінної на протилежний. Наприклад: ^{[2]X
Джерело інформації}
- $f(x)=4x^{2}-7$ перетворюється в $f(-x)=4(-x)^{2}-7$
- $g(x)=5x^{5}-2x$ перетворюється в $g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)$
- $h(x)=7x^{2}+5x+3$ перетворюється в $h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3$ .
Спростіть нову функцію.на цьому етапі замість незалежної змінної не потрібно підставляти певні числові значення. Необхідно просто спростити нову функцію f (- x), щоб порівняти її з вихідною функцією f (x). Згадайте основне правило зведення в ступінь: при зведенні негативної змінної в парну ступінь вийде позитивна змінна, а при зведенні негативної змінної в непарну ступінь вийде негативна змінна.^{[3]X
Джерело інформації}
- $f(-x)=4(-x)^{2}-7$
  - $f(-x)=4x^{2}-7$
- $g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)$
  - $g(-x)=5(-x^{5})+2x$
  - $g(-x)=-5x^{5}+2x$
- $h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3$
  - $h(-x)=7x^{2}-5x+3$
Порівняйте дві функції.Порівняйте спрощену нову функцію f (- x) з вихідною функцією f(x). Запишіть відповідні члени обох функцій один під одним і порівняйте їх знаки.^{[4]X
Джерело інформації}
- Якщо знаки відповідних членів обох функцій збігаються, тобто f (x) = f (- x), вихідна функція парна. Приклад:
  - $f(x)=4x^{2}-7$ і $f(-x)=4x^{2}-7$ .
  - Тут знаки членів збігаються, тому вихідна функція парна.
- Якщо знаки відповідних членів обох функцій протилежні один одному, тобто f (x) = -f (- x), вихідна функція парна. Приклад:
  - $g(x)=5x^{5}-2x$ , але $g(-x)=-5x^{5}+2x$ .
  - Зверніть увагу, що якщо помножити кожен член першої функції на -1, вийде друга функція. Таким чином, вихідна функція g (x) є непарною.
- Якщо нова функція не відповідає жодному з наведених прикладів, то вона є функцією загального вигляду (тобто ні парної, ні непарної). Наприклад:
  - $h(x)=7x^{2}+5x+3$ , але $h(-x)=7x^{2}-5x+3$ . Знаки перших членів обох функцій однакові, а знаки других членів протилежні. Тому ця функція є ні парною, ні непарною.

Метод2 З 2:

Графічний спосіб

Побудуйте графік функції .для цього скористайтеся міліметровкою або графічним калькулятором. Виберіть декілька будь-яких числових значень незалежної змінної $x$ і підставте їх у функцію, щоб обчислити значення залежної змінної $y$ . Знайдені координати точок нанесіть на координатну площину, а потім з'єднайте ці точки, щоб побудувати графік функції.^{[5]X
Джерело інформації}
- У функцію підставте позитивні числові значення $x$ і відповідні негативні числові значення. Наприклад, дана функція $f(x)=2x^{2}+1$ . Підставте в неї такі значення $x$ :
  - $f(1)=2(1)^{2}+1=2+1=3$ . Отримали точку з координатами $(1,3)$ .
  - $f(2)=2(2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9$ . Отримали точку з координатами $(2,9)$ .
  - $f(-1)=2(-1)^{2}+1=2+1=3$ . Отримали точку з координатами $(-1,3)$ .
  - $f(-2)=2(-2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9$ . Отримали точку з координатами $(-2,9)$ .
Перевірте, чи симетричний графік функції відносно осі Y. під симетрією мається на увазі дзеркальне відображення графіка щодо осі ординат. Якщо частина графіка праворуч від осі Y (позитивні значення незалежної змінної) збігається з частиною графіка зліва від осі Y (негативні значення незалежної змінної), графік симетричний щодо осі Y. Якщо функція симетрична щодо осі ординат, така функція парна.^{[6]X
Джерело інформації}
- Перевірити симетричність графіка можна по окремих точках. Якщо значення $y$ , яке відповідає значенню $x$ , збігається зі значенням $y$ , яке відповідає значенню $-x$ , функція є парної. У нашому прикладі з функцією $f(x)=2x^{2}+1$ ми отримали наступні координати точок:
  - (1,3) і (-1,3)
  - (2,9) і (-2,9)
- Зверніть увагу, що при x=1 І x=-1 залежна змінна у=3, а при x=2 і x=-2 залежна змінна у=9. Таким чином, функція парна. Насправді, щоб точно з'ясувати вид функції, потрібно розглянути більше двох точок, але описаний спосіб є хорошим наближенням.
Перевірте, чи симетричний графік функції щодо початку координат.початок координат-це точка з координатами (0,0). Симетрія щодо початку координат означає, що додатному значенню $y$ (при позитивному значенні $x$ ) відповідає від'ємне значення $y$ (при негативному значенні $x$ ), і навпаки. Непарні функції мають симетрію щодо початку координат.^{[7]X
Джерело інформації}
- Якщо в функцію підставити кілька позитивних і відповідних негативних значень $x$ значення $y$ будуть відрізнятися по знаку. Наприклад, дана функція $f(x)=x^{3}+x$ . Підставте в неї кілька значень $x$ :
  - $f(1)=1^{3}+1=1+1=2$ . Отримали точку з координатами (1,2).
  - $f(-1)=(-1)^{3}+(-1)=-1-1=-2$ . Отримали точку з координатами (-1,-2).
  - $f(2)=2^{3}+2=8+2=10$ . Отримали точку з координатами (2,10).
  - $f(-2)=(-2)^{3}+(-2)=-8-2=-10$ . Отримали точку з координатами (-2,-10).
- Таким чином, f (x) = -f (- x), тобто функція непарна.
Перевірте, чи має графік функції якусь симетрію.останній вид функції-це функція, графік якої не має симетрії, тобто дзеркальне відображення відсутнє як щодо осі ординат, так і щодо початку координат. Наприклад, дана функція $f(x)=x^{2}+2x+1$ .^{[8]X
Джерело інформації}
- У функцію підставте кілька позитивних і відповідних негативних значень $x$ :
  - $f(1)=1^{2}+2(1)+1=1+2+1=4$ . Отримали точку з координатами (1,4).
  - $f(-1)=(-1)^{2}+2(-1)+(-1)=1-2-1=-2$ . Отримали точку з координатами (-1,-2).
  - $f(2)=2^{2}+2(2)+2=4+4+2=10$ . Отримали точку з координатами (2,10).
  - $f(-2)=(-2)^{2}+2(-2)+(-2)=4-4-2=-2$ . Отримали точку з координатами (2, -2).
- Згідно з отриманими результатами, симетрії немає. Значення $y$ для протилежних значень $x$ не збігаються і не є протилежними. Таким чином, функція є ні парною, ні непарною.
- Зверніть увагу, що функцію